粒子运动模拟 - Verlet积分算法简介

iefreer 发表于 2016-07-21 13:52:11

标签: html5, 运动, 算法

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Verlet算法是经典力学(牛顿力学)中的一种最为普遍的积分方法,被广泛运用在分子运动模拟(Molecular Dynamics Simulation),行星运动以及织物变形模拟等领域。Verlet算法要解决的问题是,给定粒子t时刻的位置r和速度v,得到t+dt时刻的位置r(t+dt)和速度v(t+dt)。最简单的方法是前向计算(考虑当前和未来)的速度位移公式,也就是显式欧拉方法,但精度不够,且不稳定。Verlet积分是一种综合过去、现在和未来的计算方法(居中计算),精度为O(4), 稳定度好,且计算复杂度不比显式欧拉方法高多少。

对于Verlet算法详细的介绍,可以参考维基百科:Verlet integration .

Verlet算法简要介绍

1. 将 x(t+Δt) 和 x(t-Δt) 进行泰勒展开

taylor expansions

2. 将以上两个表达式进行相加,得到位置表达式

displacement expression in verlet algorithm

这个式子就显明,如果知道当前时刻的位置和加速度,前一时刻的位置,就可以推算出下一时刻的位置。

3. 将1中的两个式子相减,再同时除以 2Δt 即可获得速度表达式

velocity expression in verlet algorithm

这个式子显明,只有在知道前一时刻和后一时刻的位置时,才有可能知道当前时刻的速度。也就是说,在当前时刻不能获得速度信息,必须要等到下一时刻的位置确定以后,才能返回来计算当前的速度。

4. 力(加速度)根据当前的位置 x(t),基于一定的势函数进行更新

Verlet算法积分步运行过程

根据verlet算法,要计算t' ( = t+Δt)时刻的位置,必须知道 t'-2Δt 时刻和 t'-Δt 时刻的位置, t'-2Δt 的速度和 t'-Δt 时刻的加速度具体演绎过程如下:

1. 根据 t'-Δt 和 t'-2Δt 时刻的位置、 t'-Δt 时刻的加速度 ,获得当前时刻 t' 的位置。

2. 根据当前时刻 t' 的位置,更新当前位置下的加速度(受力)。

3. 同时,可以更新 t'-Δt 时刻的速度。(速度是附带更新了,不更新速度并不妨碍积分过程继续下去。)

那么,现在就获得了 t' 时刻的位置, t'-Δt 时刻的速度和 t' 时刻的加速度,相当于将已知条件向前推进了一步(可以对比红色的部分)。

接下来的过程就是重复上面的过程。下图生动的反映了这个过程。

1469256656172035.jpg

其中t表示时间,r表示位置,v表示速度,a表示加速度。

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