粒子运动模拟 - Verlet积分算法简介
Verlet算法是经典力学(牛顿力学)中的一种最为普遍的积分方法,被广泛运用在分子运动模拟(Molecular Dynamics Simulation),行星运动以及织物变形模拟等领域。Verlet算法要解决的问题是,给定粒子t时刻的位置r和速度v,得到t+dt时刻的位置r(t+dt)和速度v(t+dt)。最简单的方法是前向计算(考虑当前和未来)的速度位移公式,也就是显式欧拉方法,但精度不够,且不稳定。Verlet积分是一种综合过去、现在和未来的计算方法(居中计算),精度为O(4), 稳定度好,且计算复杂度不比显式欧拉方法高多少。
对于Verlet算法详细的介绍,可以参考维基百科:Verlet integration .
Verlet算法简要介绍
1. 将 x(t+Δt) 和 x(t-Δt) 进行泰勒展开
2. 将以上两个表达式进行相加,得到位置表达式
这个式子就显明,如果知道当前时刻的位置和加速度,前一时刻的位置,就可以推算出下一时刻的位置。
3. 将1中的两个式子相减,再同时除以 2Δt 即可获得速度表达式
这个式子显明,只有在知道前一时刻和后一时刻的位置时,才有可能知道当前时刻的速度。也就是说,在当前时刻不能获得速度信息,必须要等到下一时刻的位置确定以后,才能返回来计算当前的速度。
4. 力(加速度)根据当前的位置 x(t),基于一定的势函数进行更新
Verlet算法积分步运行过程
根据verlet算法,要计算t' ( = t+Δt)时刻的位置,必须知道 t'-2Δt 时刻和 t'-Δt 时刻的位置, t'-2Δt 的速度和 t'-Δt 时刻的加速度。具体演绎过程如下:
1. 根据 t'-Δt 和 t'-2Δt 时刻的位置、 t'-Δt 时刻的加速度 ,获得当前时刻 t' 的位置。
2. 根据当前时刻 t' 的位置,更新当前位置下的加速度(受力)。
3. 同时,可以更新 t'-Δt 时刻的速度。(速度是附带更新了,不更新速度并不妨碍积分过程继续下去。)
那么,现在就获得了 t' 时刻的位置, t'-Δt 时刻的速度和 t' 时刻的加速度,相当于将已知条件向前推进了一步(可以对比红色的部分)。
接下来的过程就是重复上面的过程。下图生动的反映了这个过程。
其中t表示时间,r表示位置,v表示速度,a表示加速度。
最新评论
- 相关文章
HTML5 And Canvas 2D Specs Are Now Feature Complete, First HTML 5.1 Working Draft Published
We’ve been writing about HTML5 for quite a while, but, until today, the actual HTML5 specs and standards were still moving targets. Now, however, the...
谷歌ARCore技术特性简介
谷歌美国时间2017.8.29号刚发布了ARCore预览版,这是一个类似于苹果ARKit的增强现实SDK,在此之前,谷歌虽然已投资AR平台Tango,但由于需要特定的硬件和传感器,...
ES6小知识:动态对象键(Dynamic Object Keys)语法简介
在ES5,对象的键(key)总是被解释为字符串。ES6允许我们使用计算的值作为对象的键,使用方括号:[myKey]const
函数式JavaScript编程基础概念:Curry和Partial Application
本文介绍JS函数式编程中的两个概念:柯里(Curry)和部分应用程序(Partial Application)。什么是应用程序(Application)将函数应用于其参数以产生返回值的过...
深入理解Three.js(WebGL)贴图(纹理映射)和UV映射
本文将详细描述如何使用Three.js给3D对象添加贴图(Texture Map,也译作纹理映射,“贴图”的翻译要更直观,而“纹理映射”更准确。)。为了能够查看在线演示效...
深度贴图(depth map)概念简介和生成流程
Depth map 深度图是一张2D图片,每个像素都记录了从视点(viewpoint)到遮挡物表面(遮挡物就是阴影生成物体)的距离,这些像素对应的顶点对于观察者而言是“可...
纹理基础知识和过滤模式详解
1、 为什么在纹理采样时需要texture filter(纹理过滤)。
我们的纹理是要贴到三维图形表面的,而三维图形上的pixel中心和纹理上的texel中心并不一至(pixe...WebVR简介和常用资源链接
什么是WebVR这是一个实验性的JavaScript API,提供了在用户网页浏览器中访问虚拟现实设备的统一接口。当前主流VR设备如Oculus Rift DK2、谷歌的CardBoard、三星...
CSS3图片混合(Blend)效果及其参考计算公式一览表
在Photoshop软件中,混合是将两个图层的色彩值进行合成,从而创造出大量的效果。在这些效果的背后实际是一些简单的数学公式在起作用。下面所介绍的公式仅适用于R...
如何使用WebGL实现空气高温热变形动画特效
我们在炎炎夏日,或者在火堆旁,经常会观察到热源周围空气的不稳定波动现象。本文将讲解如何通过WebGL来实现这个特效。该效果可用于热变形、波浪、水面波光等场...
WebGL入门教程2 - GPU基本概念和工作流水线(渲染管道)
如何使用CSS3实现书页(书本)卷角效果
我们有时候想在页面显示一个公告或用户提示信息。一个常用设计是使用书签形状。我们可以给书签添加卷角效果,以使其更为逼真。所谓的“卷角”实际上可以用小角度...
更多...